阵列信号DOA估计系列 之 概述
1.从相位差说起2.空间相位差的来源3.从“空间相位差”到“DOA估计”3.1 时域3.2 空域3.3 DOA估计
4. 一些问题和思考
1.从相位差说起
大家都知道，对于一个正弦信号
y
=
s
i
n
(
2
π
f
0
t
)
y=sin(2\pi f_0 t)
y=sin(2πf0t)，以采样间隔
T
s
T_s
Ts进行连续、均匀采样，假设采样
N
N
N点的数据，那么这些数据点写下来应该是
y
(
n
)
=
[
s
i
n
(
2
π
f
0
×
0
)
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
T
s
)
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
2
T
s
)
,
⋯
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
(
N
−
1
)
T
s
)
]
y(n) = [sin(2\pi f_0 \times0),sin(2\pi f_0 \times T_s),sin(2\pi f_0 \times2T_s),\cdots,sin(2\pi f_0 \times (N-1)T_s)]
y(n)=[sin(2πf0×0),sin(2πf0×Ts),sin(2πf0×2Ts),⋯,sin(2πf0×(N−1)Ts)]将其相位写下来，应该是
P
h
a
s
e
[
y
(
n
)
]
=
[
0
,
2
π
f
0
×
T
s
,
2
π
f
0
×
2
T
s
,
⋯
,
2
π
f
0
×
(
N
−
1
)
T
s
]
Phase[y(n)] = [0,2\pi f_0 \times T_s,2\pi f_0 \times 2T_s,\cdots,2\pi f_0 \times (N-1)T_s]
Phase[y(n)]=[0,2πf0×Ts,2πf0×2Ts,⋯,2πf0×(N−1)Ts]从信号与系统我们可以知道，对离散信号做傅里叶变换（ MATLAB中用 fft ），可以提取信号中的频率参数，即
f
0
f_0
f0。
以上都是我们熟知的东西，那么这个地方就可以引入一个思考：假设给我们一串离散信号
y
(
n
)
y(n)
y(n)，信号的采样点之间相位差是均匀排列的，FFT搞一遍，就可以得到频率信息了！此时，我们并不知道
y
(
n
)
y(n)
y(n)中数据点的来源，也许不是上面说的时序均匀采样而得，但是这并不妨碍我们FFT一顿操作猛如虎，一看频率250（哈哈
2.空间相位差的来源
相位差大家都懂，为何要强调空间相位差？其实这是一个习惯的问题，为的是表达相位差异的直接来源是“空间”，而不是时间。
看下面这样一个例子：均匀线性阵列，共有
M
M
M 个阵元，阵元之间相距
d
d
d，有一个信号（假设为平面波）从偏离法线
θ
\theta
θ 方向射入到阵列上。 可以看出，信号要到达第二个阵元所走过的路程 比 到达第一个阵元走过的路程 要多
d
s
i
n
(
θ
)
dsin(\theta)
dsin(θ) ,后面以此类推，信号要到达后面一个阵元 都比 前面一个阵元 多走
d
s
i
n
(
θ
)
dsin(\theta)
dsin(θ) 的空间距离。
我们都知道电磁波的速度为光速
c
c
c,那么上面的路程计算到时间维度，可以得出：相同的信号，要到达后一个阵元，就比前一个阵元 在时间上 迟了
δ
t
=
d
s
i
n
(
θ
)
c
\delta t = \frac{dsin(\theta)}{c}
δt=cdsin(θ)。假设信号的频率为
f
0
f_0
f0，并且以第一个阵元为参考点，那么每一个阵元相对于第一个阵元的时间差为
Δ
t
=
[
0
,
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
2
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
⋯
,
(
M
−
1
)
d
s
i
n
(
θ
)
c
]
\Delta t = [0, \frac{dsin(\theta)}{c},\frac{2dsin(\theta)}{c},\cdots,\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}]
Δt=[0,cdsin(θ),c2dsin(θ),⋯,c(M−1)dsin(θ)] 那么到达各个阵元的信号，相对于第一个阵元的相位差就应该是
Δ
ϕ
=
[
0
,
2
π
f
0
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
2
π
f
0
2
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
⋯
,
2
π
f
0
(
M
−
1
)
d
s
i
n
(
θ
)
c
]
\Delta \phi = [0, 2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}, 2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c},\cdots, 2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}]
Δϕ=[0,2πf0cdsin(θ),2πf0c2dsin(θ),⋯,2πf0c(M−1)dsin(θ)]由于这个相位差是阵元间空间位置不同所造成的，顺便取了个名字为“空间相位差”。
另外，可以从这个图的角度去理解。
3.从“空间相位差”到“DOA估计”
首先还是再仔细观察一下在时域和频域，我们常用的FFT的一些细节。
3.1 时域
在时域里面，将离散时间信号
y
(
n
)
=
[
s
i
n
(
2
π
f
0
×
0
)
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
T
s
)
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
2
T
s
)
,
⋯
,
s
i
n
(
2
π
f
0
×
(
N
−
1
)
T
s
)
]
y(n) = [sin(2\pi f_0 \times0),sin(2\pi f_0 \times T_s),sin(2\pi f_0 \times2T_s),\cdots,sin(2\pi f_0 \times (N-1)T_s)]
y(n)=[sin(2πf0×0),sin(2πf0×Ts),sin(2πf0×2Ts),⋯,sin(2πf0×(N−1)Ts)]做FFT，可以提取出数字频率
ω
=
2
π
f
0
T
s
=
2
π
f
0
f
s
\omega = 2\pi f_0T_s = 2\pi\frac{f_0}{f_s}
ω=2πf0Ts=2πfsf0仔细观察可以看出，这个数字频率，就是相邻采样点之间相位差
δ
ϕ
=
2
π
f
0
T
s
=
2
π
f
0
f
s
\delta\phi = 2\pi f_0T_s = 2\pi\frac{f_0}{f_s}
δϕ=2πf0Ts=2πfsf0。 如果画出频谱图，那么将会在
2
π
f
0
f
s
2\pi\frac{f_0}{f_s}
2πfsf0 处出现一个峰值。 这基本就是我们在时域使用FFT对估计信号频率的简单理解了。
3.2 空域
对应到空域里面，在某一时刻对所有每个阵元同时采样（称之为一个快拍），将会得到
M
M
M 个数据点，将这
M
M
M 个数据点排列起来，可以得到
x
(
n
)
=
[
s
(
t
)
,
s
(
t
)
e
j
2
π
f
0
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
s
(
t
)
e
j
2
π
f
0
2
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
s
(
t
)
e
j
2
π
f
0
3
d
s
i
n
(
θ
)
c
,
⋯
,
s
(
t
)
e
j
2
π
f
0
(
M
−
1
)
d
s
i
n
(
θ
)
c
]
\mathbf{x}(n) = [s(t),s(t)e^{j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},s(t)e^{j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},s(t)e^{j2\pi f_0\frac{3dsin(\theta)}{c}},\cdots,s(t)e^{j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]
x(n)=[s(t),s(t)ej2πf0cdsin(θ),s(t)ej2πf0c2dsin(θ),s(t)ej2πf0c3dsin(θ),⋯,s(t)ej2πf0c(M−1)dsin(θ)]如果对这一串数据做FFT，那么将会得到相邻数据点的相位差
δ
ϕ
=
2
π
f
0
d
s
i
n
(
θ
)
c
=
2
π
d
s
i
n
(
θ
)
λ
\delta\phi = 2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c} = 2\pi \frac{dsin(\theta)}{\lambda}
δϕ=2πf0cdsin(θ)=2πλdsin(θ)与时域类比，可以知道，这应该是一个数字频率。同样，若画出频谱图，那么应该在
2
π
d
s
i
n
(
θ
)
λ
2\pi \frac{dsin(\theta)}{\lambda}
2πλdsin(θ)处有一个峰值，再通过一定的运算（反正弦等），就可以提取出角度
θ
\theta
θ 的的信息了。这就是空域FFT的直观理解。
3.3 DOA估计
对于均匀线阵，某一时刻接收到一个快拍信号
x
(
n
)
=
[
x
0
(
n
)
,
x
1
(
n
)
,
x
2
(
n
)
,
⋯
,
x
M
−
1
(
n
)
]
\mathbf{x}(n) = [x_0(n),x_1(n),x_2(n),\cdots,x_{M-1}(n)]
x(n)=[x0(n),x1(n),x2(n),⋯,xM−1(n)]，就可以直接用FFT操作，就可以得到角度信息了。当然，这里面有很多的问题，下面马上就会讲到。
4. 一些问题和思考
本篇博文所讲，是DOA估计最最基本的概念问题，相当于DOA 估计领域的"hello world！"。有一些不严谨、或者说不专业的地方，下面略微提一下。以后有时间，我再慢慢填坑。
通过这种和时域比较的方法来理解，对于新手来说是比较友好的。但是，我觉得这是不严谨的。作为一个工科生，我只相信数据和推导，这才是专业选手的做法。上面所说，对均匀线阵的一个快拍数据做FFT可以得到一个峰值，是通过类比的方式得出的。其实，也可以通过严格的数学计算证明的。上面只说了一个快拍，万一信噪比不够呢？如何利用多个快拍？本文一直在拿时间和空间做类比，那么这两者的关系到底是什么？
ps：若有错误，希望大家提出。如有建议，欢迎大家讨论。